Série 6 : Propriétés

Exercice 1 :
Relation fondamentale
Démonstration dans un triangle rectangle de la relation « cos²a + sin²a = 1 » à l'aide du théorème de Pythagore. 5 questions.
q1 : un angle de valeur a étant tracé, compléter la figure (à la règle et à l'équerre) de manière à obtenir un triangle OAB rectangle en B dont l'hypoténuse mesure 1 dm.
q2-q3 : à l'aide de la définition du cosinus et du sinus, en déduire que cos a = OB et sin a = AB.
q4-q5 : à l'aide du théorème de Pythagore, en conclure que cos²a + sin²a = 1.
Exercice 2 :
Lien sinus, cosinus et tangente (Tracenpoche)
Démonstration dans un triangle rectangle de la relation : « (sin a)/(cos a) = tan a ». 5 questions.
q1 : à l'aide du logiciel de géométrie dynamique Tracenpoche, on observe l'influence de la variation d'un angle a sur les quantités tan a et (sin a)/(cos a).
q2-q3 : dans un triangle rectangle, on complète l'écriture littérale de la définition du cosinus d'un angle et du sinus du même angle.
q4-q5 : en partant de l'expression du type (sin a)/(cos a) et en utilisant la propriété « diviser par un quotient revient à multiplier par son inverse », on retrouve l'écriture littérale de la définition de tan a et on conclue.
Exercice 3 :
Applications
Application directe des formules de l'exercice 1 et de l'exercice 2 dans un triangle rectangle. 5 questions.
q1-q2 : en utilisant la formule de l'exercice 1, trouver la valeur arrondie au centième du cosinus d'un angle a, connaissant son sinus, puis du sinus d'un autre angle, connaissant son cosinus.
q3-q5 : même travail, auquel on rajoute celui de donner une valeur arrondie de la tangente de l'angle en utilisant la formule de l'exercice 2.
Exercice 4 :
Complémentaires (Tracenpoche)
Démonstration (pour des angles aigus) et application directe des deux formules :
sin a = cos (90 – a)
tan a = 1/tan(90 – a)
10 questions.
q1:à l'aide du logiciel de géométrie dynamique Tracenpoche, on observe l'influence de la déformation d'un triangle rectangle sur deux quantités : le sinus d'un de ses angles aigus et le cosinus de l'autre.
q2 : on démontre la propriété sin a = cos (90 – a) dans un triangle rectangle à l'aide de l'écriture littérale de la définition des deux fonctions.
q3-q5 :applications directes de la formule de la q2.
q6:à l'aide du logiciel de géométrie dynamique Tracenpoche, on observe l'influence de la déformation d'un triangle rectangle sur deux quantités : la tangente d'un de ses angles aigus et l'inverse de la tangente de l'autre.
q7 : on démontre la propriété tan a = 1/tan(90 – a) dans un triangle rectangle à l'aide de l'écriture littérale de la définition de la tangente.
q8-q10 :applications directes de la formule de la q6.